SEBA Class 10 Maths Exercise 3.5 দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ Assamese Medium
এই পোষ্টটোত দশম শ্ৰেণীৰ গণিত পাঠ্যপুথিৰ Chapter 3 দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ পাঠটোৰ অনুশীলনী 3.5 ৰ প্ৰশ্নবোৰৰ সমাধান লাভ কৰিব। অন্য অনুশীলনীবোৰৰ সমাধান পাবলৈ তলত দিয়া লিংকত ক্লিক কৰিব। দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ পাঠটিত মুঠতে সাতটা অনুশীলনী আছে - Exercise 3.1, Exercise 3.2, Exercise 3.3, Exercise 3.4, Exercise 3.5, Exercise 3.6, Exercise 3.7
প্ৰতিটো পাঠৰ MCQs আৰু সমাধান পাবলৈ ইয়াত ক্লিক কৰিব - MCQs.
দশম শ্ৰেণীৰ গণিতৰ পাঠ্যপুথিত থকা পাঠসমূহ হ'ল পুনৰালোচনা (Revision), বাস্তৱ সংখ্যা (Real Numbers), বহুপদ (Polynomials), দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ (Pair of Linear Equations in Two Variables), দ্বিঘাত সমীকৰণ (Quadratic Equations), সমান্তৰ প্ৰগতি (Arithmetic Progressions), ত্ৰিভুজ (Triangles), স্থানাংক জ্যামিতি (Coordinate Geometry), ত্ৰিকোণমিতিৰ পৰিচয় (Introduction to Trigonometry), ত্ৰিকোণমিতিৰ কিছুমান প্ৰয়োগ (Some Applications of Trigonometry), বৃত্ত (Circles), অংকন (Constructions), বৃত্ত সম্বন্ধীয় কালি (Areas Related to Circles), পৃষ্ঠকালি আৰু আয়তন (Surface Areas and Volumes), পৰিসংখ্যা (Statistics), সম্ভাৱিতা (Probability).
Exercise Solutions of Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables
- Class 10 Chapter 3 Exercise 3.1 Solutions
- Class 10 Chapter 3 Exercise 3.2 Solutions
- Class 10 Chapter 3 Exercise 3.3 Solutions
- Class 10 Chapter 3 Exercise 3.4 Solutions
- Class 10 Chapter 3 Exercise 3.6 Solutions
- Class 10 Chapter 3 Exercise 3.7 Solutions
Solutions for Class 10 Maths Chapter 3 Pair of Linear Equations in Two Variables Exercise 3.5 in Assamese Medium
1. তলৰ কোনকেইটা ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰৰ অদ্বিতীয় সমাধান আছে, সমাধান নাই, নাইবা অসীম সংখ্যক সমাধান আছে? যদি অদ্বিতীয় সমাধান আছে, সেই ক্ষেত্রত বজ্র-গুণন পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি সমাধা কৰা।
(i) x-3y-3=0
3x-9y-2=0
(ii) 2x + y = 5
3x+2y = 8
(iii) 3x-5y = 20
6x-10y = 40
(iv) x-3y-7=0
3x-3y-15=0
(v) 2x+3y=6
4x+6y = 12
(vi) x-2y = 6
3x-6y=0
(vii) $\large \frac{3a}{x}-\frac{2b}{y} = -5$
$\large \frac{a}{x}+\frac{3b}{y} = 2$
(viii) 2x+y-15=0
3x-y-5=0
Solution:
(i) x-3y-3=0
3x-9y-2=0
ইয়াত,
a$_1$ = 1, b$_1$ = -3, c$_1$ = -3
a$_2$ = 3, b$_2$ = -9, c$_2$ = -2
এতিয়া,
$\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\large \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-9} = \frac{1}{3}$
$\large \frac{c_1}{c_2} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$
∵ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} ≠ \frac{c_1}{c_2}$
∴ সমীকৰণযোৰৰ কোনো সমাধান নাই।
(ii) 2x + y = 5
3x+2y = 8
ইয়াত,
a$_1$ = 2, b$_1$ = 1, c$_1$ = -5
a$_2$ = 3, b$_2$ = 2, c$_2$ = -8
এতিয়া,
$\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}$
$\large \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{2}$
∵ $\large \frac{a_1}{a_2} ≠ \frac{b_1}{b_2}$
∴ সমীকৰণযোৰৰ অদ্বিতীয় সমাধান থাকিব।।
বজ্ৰগুণন পদ্ধতিৰে সমাধান
$\LARGE \frac{x}{b_1 c_2 - b_2 c_1}$ = $\LARGE \frac{y}{c_1 a_2 - c_2 a_1}$ = $\LARGE \frac{1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{1 . (-8) - 2 . (-5)}$ = $\LARGE \frac{y}{(-5) . 3 - (-8) . 2}$ = $\LARGE \frac{1}{2 . 2 - 3 . 1}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{-8 + 10}$ = $\LARGE \frac{y}{-15 + 16}$ = $\LARGE \frac{1}{4 - 3}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{2}$ = $\LARGE \frac{y}{1}$ = $\LARGE \frac{1}{1}$
এতিয়া,
$\large \frac{x}{2}$ = $\large \frac{1}{1}$
⇒ $\large x = 2$
আকৌ,
⇒ $\large \frac{y}{1}$ = $\large \frac{1}{1}$
⇒ $\large y = 1$
∴ নিৰ্ণেয় সমাধান x = 2 আৰু y = 1
(iii) 3x-5y = 20
6x-10y = 40
ইয়াত,
a$_1$ = 3, b$_1$ = -5, c$_1$ = -20
a$_2$ = 6, b$_2$ = -10, c$_2$ = -40
এতিয়া,
$\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\large \frac{b_1}{b_2} = \frac{-5}{-10} = \frac{1}{2}$
$\large \frac{c_1}{c_2} = \frac{-20}{-40} = \frac{1}{2}$
∵ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
∴ সমীকৰণযোৰৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকিব।
(iv) x-3y-7=0
3x-3y-15=0
ইয়াত,
a$_1$ = 1, b$_1$ = -3, c$_1$ = -7
a$_2$ = 3, b$_2$ = -3, c$_2$ = -15
এতিয়া,
$\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\large \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-3} = 1$
∵ $\large \frac{a_1}{a_2} ≠ \frac{b_1}{b_2}$
∴ সমীকৰণযোৰৰ অদ্বিতীয় সমাধান থাকিব।।
বজ্ৰগুণন পদ্ধতিৰে সমাধান
$\LARGE \frac{x}{b_1 c_2 - b_2 c_1}$ = $\LARGE \frac{y}{c_1 a_2 - c_2 a_1}$ = $\LARGE \frac{1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{(-3) . (-15) - (-3) . (-7)}$ = $\LARGE \frac{y}{(-7) . 3 - (-15) . 1}$ = $\LARGE \frac{1}{1 . (-3) - 3 . (-3)}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{45 - 21}$ = $\LARGE \frac{y}{-21 + 15}$ = $\LARGE \frac{1}{-3 + 9}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{21}$ = $\LARGE \frac{y}{-6}$ = $\LARGE \frac{1}{6}$
এতিয়া,
$\large \frac{x}{24}$ = $\large \frac{1}{6}$
⇒ $\large 6x = 24$
⇒ $\large x = 4$
আকৌ,
⇒ $\large \frac{y}{-6}$ = $\large \frac{1}{6}$
⇒ $\large 6y = -6$
⇒ $\large y = -1$
∴ নিৰ্ণেয় সমাধান x = 4 আৰু y = -1
(v) 2x+3y=6
4x+6y = 12
ইয়াত,
a$_1$ = 2, b$_1$ = 3, c$_1$ = -6
a$_2$ = 4, b$_2$ = 6, c$_2$ = -12
এতিয়া,
$\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\large \frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\large \frac{c_1}{c_2} = \frac{-6}{-12} = \frac{1}{2}$
∵ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
∴ সমীকৰণযোৰৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকিব।
(vi) x-2y = 6
3x-6y=0
ইয়াত,
a$_1$ = 1, b$_1$ = -2, c$_1$ = -6
a$_2$ = 3, b$_2$ = -6, c$_2$ = 0
এতিয়া,
$\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{3}$
$\large \frac{b_1}{b_2} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$
$\large \frac{c_1}{c_2} = \frac{-6}{0} $ = অনিৰ্ণেয়
∵ $\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} ≠ \frac{c_1}{c_2}$
∴ সমীকৰণযোৰৰ কোনো সমাধান নাই।
(vii) $\large \frac{3a}{x}-\frac{2b}{y} = -5$
⇒ $\large \frac{3ay - 2bx}{xy} = -5$
⇒ 3ay - 2bx = -5xy
⇒ -2bx + 3ay + 5xy = 0
$\large \frac{a}{x}+\frac{3b}{y} = 2$
⇒ $\large \frac{ay + 3bx}{xy} = 2$
⇒ ay + 3bx = 2xy
⇒ 3bx + ay - 2xy = 0
ইয়াত,
a$_1$ = -2b, b$_1$ = 3a, c$_1$ = 5xy
a$_2$ = 3b, b$_2$ = a, c$_2$ = -2xy
এতিয়া,
$\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{-2b}{3b} = \frac{-2}{3}$
$\large \frac{b_1}{b_2} = \frac{3a}{a} = 3$
∵ $\large \frac{a_1}{a_2} ≠ \frac{b_1}{b_2}$
∴ সমীকৰণযোৰৰ অদ্বিতীয় সমাধান থাকিব।।
বজ্ৰগুণন পদ্ধতিৰে সমাধান
$\LARGE \frac{x}{b_1 c_2 - b_2 c_1}$ = $\LARGE \frac{y}{c_1 a_2 - c_2 a_1}$ = $\LARGE \frac{1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{3a . (-2xy) - a . 5xy}$ = $\LARGE \frac{y}{5xy . 3b - (-2xy) . (-2b)}$ = $\LARGE \frac{1}{(-2b) . a - 3b . 3a}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{-6axy - 5axy}$ = $\LARGE \frac{y}{15bxy - 4bxy}$ = $\LARGE \frac{1}{-2ab - 9ab}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{-11axy}$ = $\LARGE \frac{y}{11bxy}$ = $\LARGE \frac{1}{-11ab}$
এতিয়া,
$\large \frac{x}{-11axy}$ = $\large \frac{1}{-11ab}$
⇒ $\large y = b$
আকৌ,
⇒ $\large \frac{y}{11bxy}$ = $\large \frac{1}{-11ab}$
⇒ $\large x = -a$
∴ নিৰ্ণেয় সমাধান x = -a আৰু y = b
(viii) 2x+y-15=0
3x-y-5=0/
ইয়াত,
a$_1$ = 2, b$_1$ = 1, c$_1$ = -15
a$_2$ = 3, b$_2$ = -1, c$_2$ = -5
এতিয়া,
$\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}$
$\large \frac{b_1}{b_2} = \frac{1}{-1} = -1$
∵ $\large \frac{a_1}{a_2} ≠ \frac{b_1}{b_2}$
∴ সমীকৰণযোৰৰ অদ্বিতীয় সমাধান থাকিব।।
বজ্ৰগুণন পদ্ধতিৰে সমাধান
$\LARGE \frac{x}{b_1 c_2 - b_2 c_1}$ = $\LARGE \frac{y}{c_1 a_2 - c_2 a_1}$ = $\LARGE \frac{1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{1.(-5) - (-1).(-15)}$ = $\LARGE \frac{y}{(-15).3 - (-5).2}$ = $\LARGE \frac{1}{2.(-1) - 3.1}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{-5 - 15}$ = $\LARGE \frac{y}{-45 + 10}$ = $\LARGE \frac{1}{-2 - 3}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{-20}$ = $\LARGE \frac{y}{-35}$ = $\LARGE \frac{1}{-5}$
এতিয়া,
$\large \frac{x}{-20}$ = $\large \frac{1}{-5}$
⇒ $\large -5x = -20$
⇒ $\large x = 4$
আকৌ,
⇒ $\large \frac{y}{-35}$ = $\large \frac{1}{-5}$
⇒ $\large -5y = -35$
⇒ $\large y = 7$
∴ নিৰ্ণেয় সমাধান x = 4 আৰু y = 7
2.(ⅰ) a আৰু b ৰ কি মানৰ ক্ষেত্ৰত তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকিব?
2x + 3y = 7
(a-b)x + (a+b)y = 3a+b-2
Solution:
প্ৰদত্ত সমীকৰণযোৰ-
2x + 3y = 7
(a-b)x + (a+b)y = 3a+b-2
সমীকৰণযোৰৰ অসীম সংখ্যক থাকিব যদিহে,
$\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
⇒ $\large \frac{2}{a - b} = \frac{3}{a + b} = \frac{-7}{-(3a + b -2)}$
এতিয়া,
$\large \frac{2}{a - b} = \frac{-7}{-(3a + b -2)}$
⇒ 2(3a + b - 2) = 7(a - b)
⇒ 6a + 2b - 4 = 7a - 7b
⇒ 7a - 6a - 7b - 2b + 4 = 0
⇒ a - 9b + 4 = 0 ------ (1)
আৰু,
$\large \frac{3}{a + b} = \frac{-7}{-(3a + b -2)}$
⇒ 3(3a + b - 2) = 7(a + b)
⇒ 9a + 3b - 6 = 7a + 7b
⇒ a - 2b - 3 = 0 ------ (2)
এতিয়া, সমীকৰণ (1) আৰু (2) ক বজ্ৰগুণন পদ্ধতিৰে সমাধান কৰিলে,
$\large \frac{a}{(-9).(-3) - (-2).4}$ = $\large \frac{b}{4.1 - (-3).1}$ = $\large \frac{1}{1.(-2) - 1.(-9)}$
⇒ $\large \frac{a}{27 + 8}$ = $\large \frac{b}{4 + 3}$ = $\large \frac{1}{-2 + 9}$
⇒ $\large \frac{a}{35}$ = $\large \frac{b}{7}$ = $\large \frac{1}{7}$
এতিয়া,
$\large \frac{a}{35}$ = $\large \frac{1}{7}$
⇒ 7a = 35
⇒ a = 5
$\large \frac{b}{7}$ = $\large \frac{1}{7}$
⇒ b = 1
∴ নিৰ্ণেয় সমাধান a = 5 আৰু b = 1
ii) k ৰ কি মানৰ ক্ষেত্ৰত তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণযোৰৰ কোনো সমাধান নাই?
3x + y = 1
(2k-1)x+(k-1)y = 2k+1
Solution:
প্ৰদত্ত সমীকৰণযোৰ-
3x + y = 1
⇒ 3x + y - 1 = 0
(2k-1)x + (k-1)y = 2k+1
⇒ (2k-1)x + (k-1)y - (2k+1) = 0
প্ৰদত্ত সমীকৰণযোৰৰ কোনো সমাধান নাথাকে যদিহে,
$\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} ≠ \frac{c_1}{c_2}$
⇒ $\large \frac{3}{2k - 1} = \frac{1}{k - 1} ≠ \frac{-1}{-(2k + 1)}$
এতিয়া,
$\large \frac{3}{2k - 1} = \frac{1}{k - 1}$
⇒ 3(k - 1) = 2k - 1
⇒ 3k - 3 = 2k - 1
⇒ 3k - 2k = -1 + 3
⇒ k = 2
∴ নিৰ্ণেয় k ৰ মান 2
(iii) p ৰ কি মানৰ বাবে px - y = 2, 6x-2y = 3 সমীকৰণযোৰৰ একমাত্র সমাধান থাকিব?
Solution:
প্ৰদত্ত সমীকৰণযোৰ-
px - y = 2
⇒ px - y - 2 = 0
6x - 2y = 3
⇒ 6x - 2y - 3 = 0
সমীকৰণযোৰৰ একমাত্র সমাধান থাকিব যদিহে,
$\large \frac{a_1}{a_2} ≠ \frac{b_1}{b_2}$
⇒ $\large \frac{p}{6} ≠ \frac{-1}{-2}$
⇒ 2p ≠ 6
⇒ p ≠ 3
∴ নিৰ্ণেয় সমাধান p ≠ 3
(iv) k ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা যাতে তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণযোৰৰ কোনো সমাধান নাথাকে।
$(3k + 1)x+3y-2=0$, $(k^2 + 1) x+(k-2)y -5 =0$
Solution:
প্ৰদত্ত সমীকৰণযোৰ-
$(3k + 1)x+3y-2=0$
$(k^2 + 1) x+(k-2)y -5 =0$
প্ৰদত্ত সমীকৰণযোৰৰ কোনো সমাধান নাথাকে যদিহে,
$\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} ≠ \frac{c_1}{c_2}$
⇒ $\large \frac{3k + 1}{k^2 + 1} = \frac{3}{k - 2} ≠ \frac{-2}{-(-5)}$
এতিয়া,
$\large \frac{36 + 1}{k^2 + 1} = \frac{3}{k - 2}$
⇒ $3k^2 + 3 = (3k + 1)(k -2)$
⇒ $3k^2 + 3 = 3k^2 - 6k + k - 2$
⇒ -5k = 3 + 2
⇒ -5k = 5
⇒ k = -1
∴ নিৰ্ণেয় k ৰ মান -1
(v) m ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা যাতে তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণযোৰৰ অসীম সমাধান থাকে।
mx + 4y = m - 4, 16x + my = m
Solution:
প্ৰদত্ত সমীকৰণযোৰ-
mx + 4y = m - 4
⇒ mx + 4y - (m - 4) = 0
16x + my = m
⇒ 16x + my - m = 0
সমীকৰণযোৰৰ অসীম সংখ্যক থাকিব যদিহে,
$\large \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$
⇒ $\large \frac{m}{16} = \frac{4}{m} = \frac{-(m-4)}{-m}$
এতিয়া,
$\large \frac{m}{16} = \frac{4}{m}$
⇒ $m^2 = 64$
⇒ m = 8
∴ নিৰ্ণেয় m ৰ মান 8
3. প্ৰতিষ্ঠাপন আৰু বজ্ৰগুণন পদ্ধতিৰে তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণযোৰৰ সমাধান উলিওৱা:
(i) 8x + 5y =9
3x + 2y =4
(ii) 4x - 3y = 23
3x + 4y =11
(iii) 2x + 3y -11 =0
4x - 3x + 5 =5
(iv) 5x + 7y =19
3x + 2y = 7
Solution:
(i) প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতিৰে সমাধান:
8x + 5y = 9 ------ (1)
3x + 2y = 4 ------ (2)
সমীকৰণ (2) ৰ পৰা,
2y = 4 - 3x
⇒ y = $\large \frac{4 - 3x}{2}$ ------ (3)
y ৰ মান (1) ত বহুৱালে,
8x + 5 . $\large \frac{4 - 3x}{2}$ = 9
⇒ 8x + $\large \frac{20 - 15x}{2}$ = 9
⇒ 16x + 20 - 15x = 18
⇒ x = 18 - 20
⇒ x = -2
x ৰ মান (3)ত বহুৱালে-
y = $\large \frac{4 - 3(-2)}{2}$
⇒ y = $\large \frac{4 + 6}{2}$
⇒ y = $\large \frac{10}{2}$
⇒ y = 5
∴ নিৰ্ণেয় সমাধান x = -2 আৰু y = 5
বজ্ৰগুণন পদ্ধতিৰে সমাধান:
ইয়াত,
a$_1$ = 8, b$_1$ = 5, c$_1$ = -9
a$_2$ = 3, b$_2$ = 2, c$_2$ = -4
এতিয়া,
$\LARGE \frac{x}{b_1 c_2 - b_2 c_1}$ = $\LARGE \frac{y}{c_1 a_2 - c_2 a_1}$ = $\LARGE \frac{1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{5.(-4) - 2.(-9)}$ = $\LARGE \frac{y}{(-9).3 - (-4).8}$ = $\LARGE \frac{1}{8.2 - 3.5}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{-20 + 18}$ = $\LARGE \frac{y}{-27 + 32}$ = $\LARGE \frac{1}{16 - 15}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{-2}$ = $\LARGE \frac{y}{5}$ = $\LARGE \frac{1}{1}$
এতিয়া,
$\large \frac{x}{-2}$ = $\large \frac{1}{1}$
⇒ $\large x = -2$
আৰু,
⇒ $\large \frac{y}{5}$ = $\large \frac{1}{1}$
⇒ $\large y = 5$
∴ নিৰ্ণেয় সমাধান x = -2 আৰু y = 5
(ii) প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতিৰে সমাধান:
4x - 3y = 23 ------ (1)
3x + 4y = 11 ------ (2)
সমীকৰণ (2) ৰ পৰা,
4y = 11 - 3x
⇒ y = $\large \frac{11 - 3x}{4}$ ------ (3)
y ৰ মান (1) ত বহুৱালে,
4x - 3.$\large \frac{11 - 3x}{4}$ = 23
⇒ 4x - $\large \frac{33 - 9x}{4}$ = 23
⇒ 16x - 33 + 9x = 92
⇒ 25x = 92 + 33
⇒ 25x = 125
⇒ x = 5
x ৰ মান (3)ত বহুৱালে-
y = $\large \frac{11 - 3×5}{4}$
⇒ y = $\large \frac{11 - 15}{4}$
⇒ y = $\large \frac{-4}{4}$
⇒ y = -1
∴ নিৰ্ণেয় সমাধান x = 5 আৰু y = -1
বজ্ৰগুণন পদ্ধতিৰে সমাধান:
ইয়াত,
a$_1$ = 4, b$_1$ = -3, c$_1$ = -23
a$_2$ = 3, b$_2$ = 4, c$_2$ = -11
এতিয়া,
$\LARGE \frac{x}{b_1 c_2 - b_2 c_1}$ = $\LARGE \frac{y}{c_1 a_2 - c_2 a_1}$ = $\LARGE \frac{1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{(-3).(-11) - 4.(-23)}$ = $\LARGE \frac{y}{(-23).3 - (-11).4}$ = $\LARGE \frac{1}{4.4 - 3.(-3)}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{33 + 92}$ = $\LARGE \frac{y}{-69 + 44}$ = $\LARGE \frac{1}{16 + 9}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{125}$ = $\LARGE \frac{y}{-25}$ = $\LARGE \frac{1}{25}$
এতিয়া,
$\large \frac{x}{125}$ = $\large \frac{1}{25}$
⇒ $\large 25x = 125$
⇒ $\large x = 5$
আৰু,
⇒ $\large \frac{y}{-25}$ = $\large \frac{1}{25}$
⇒ $\large 25y = -25$
⇒ $\large y = -1$
∴ নিৰ্ণেয় সমাধান x = 5 আৰু y = -1
(iii) প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতিৰে সমাধান:
2x + 3y - 11 = 0 ------ (1)
4x - 3y + 5 = 0 ------ (2)
সমীকৰণ (2) ৰ পৰা,
3y = 4x + 5
⇒ y = $\large \frac{4x + 5}{3}$ ------ (3)
y ৰ মান (1) ত বহুৱালে,
2x + 3.$\large \frac{4x + 5}{3}$ - 11 = 0
⇒ 2x + $\large \frac{12x + 15}{3}$ - 11 = 0
⇒ 6x + 12x + 15 - 33 = 0
⇒ 18x - 18 = 0
⇒ 18x = 18
⇒ x = 1
x ৰ মান (3)ত বহুৱালে-
y = $\large \frac{4×1 + 5}{3}$
⇒ y = $\large \frac{9}{3}$
⇒ y = 3
∴ নিৰ্ণেয় সমাধান x = 1 আৰু y = 3
বজ্ৰগুণন পদ্ধতিৰে সমাধান:
ইয়াত,
a$_1$ = 2, b$_1$ = 3, c$_1$ = -11
a$_2$ = 4, b$_2$ = -3, c$_2$ = 5
এতিয়া,
$\LARGE \frac{x}{b_1 c_2 - b_2 c_1}$ = $\LARGE \frac{y}{c_1 a_2 - c_2 a_1}$ = $\LARGE \frac{1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{3.5 - (-3).(-11)}$ = $\LARGE \frac{y}{(-11).4 - 5.2}$ = $\LARGE \frac{1}{2.(-3) - 4.3}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{15- 33}$ = $\LARGE \frac{y}{-44 - 10}$ = $\LARGE \frac{1}{-6 - 12}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{-18}$ = $\LARGE \frac{y}{-54}$ = $\LARGE \frac{1}{-18}$
এতিয়া,
$\large \frac{x}{-18}$ = $\large \frac{1}{-18}$
⇒ $\large -18x = -18$
⇒ $\large x = 1$
আৰু,
⇒ $\large \frac{y}{-54}$ = $\large \frac{1}{-18}$
⇒ $\large -18y = -54$
⇒ $\large y = 3$
∴ নিৰ্ণেয় সমাধান x = 1 আৰু y = 3
(iv) প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতিৰে সমাধান:
5x + 7y = 19 ------ (1)
3x + 2y = 7 ------ (2)
সমীকৰণ (2) ৰ পৰা,
2y = 7 - 3x
⇒ y = $\large \frac{7 - 3x}{2}$ ------ (3)
y ৰ মান (1) ত বহুৱালে,
5x + 7.$\large \frac{7 - 3x}{2}$ = 19
⇒ 5x + $\large \frac{49 - 21x}{2}$ = 19
⇒ 10x + 49 - 21x = 38
⇒ -11x = 38 - 49
⇒ -11x = -11
⇒ x = 1
x ৰ মান (3)ত বহুৱালে-
y = $\large \frac{7 - 3.1}{2}$
⇒ y = $\large \frac{7- 3}{2}$
⇒ y = $\large \frac{4}{2}$
⇒ y = 2$
∴ নিৰ্ণেয় সমাধান x = 1 আৰু y = 2
বজ্ৰগুণন পদ্ধতিৰে সমাধান:
ইয়াত,
a$_1$ = 5, b$_1$ = 7, c$_1$ = -19
a$_2$ = 3, b$_2$ = 2, c$_2$ = -7
এতিয়া,
$\LARGE \frac{x}{b_1 c_2 - b_2 c_1}$ = $\LARGE \frac{y}{c_1 a_2 - c_2 a_1}$ = $\LARGE \frac{1}{a_1 b_2 - a_2 b_1}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{7.(-7) - 2.(-19)}$ = $\LARGE \frac{y}{(-19).3 - (-7).5}$ = $\LARGE \frac{1}{5.2 - 3.7}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{-49 + 38}$ = $\LARGE \frac{y}{-57 + 35}$ = $\LARGE \frac{1}{10 - 21}$
⇒ $\LARGE \frac{x}{-11}$ = $\LARGE \frac{y}{-22}$ = $\LARGE \frac{1}{-11}$
এতিয়া,
$\large \frac{x}{-11}$ = $\large \frac{1}{-11}$
⇒ $\large x = 1$
আৰু,
⇒ $\large \frac{y}{-22}$ = $\large \frac{1}{-11}$
⇒ $\large -11y = -22$
⇒ $\large y = 2$
∴ নিৰ্ণেয় সমাধান x = 1 আৰু y = 2
4. তলৰ সমস্যাবোৰক লৈ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ গঠন কৰা আৰু যিকোনো বীজীয় পদ্ধতিৰে সিহঁতৰ সমাধান উলিওৱা (যদি বর্তে)।
(i) কোনো ছাত্ৰাবাসৰ মাহেকীয়া মাচুলৰ এটা অংশ নির্দিষ্ট আৰু বাকীখিনি এজনে মেচত কিমান দিন খাদ্য গ্ৰহণ কৰিলে তাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে। যেতিয়া এজন ছাত্র A ই 20 দিন খাদ্য খায় তেন্তে তেওঁ ছাত্ৰাবাসৰ মাচুল দিব লাগে 1000 টকা। আকৌ এজন ছাত্র Bয়ে যদি 26 দিন খাদ্য খায় তেওঁ মাচুল দিব লাগে 1180 টকা। নির্দিষ্ট মাচুল আৰু প্রতিদিনত খাদ্যৰ দাম কি উলিওৱা ।
Solution:
ধৰাহ'ল,
নিৰ্দিষ্ট মাচুল x টকা আৰু প্ৰতিদিনৰ মাচুল y টকা
প্ৰশ্নমতে,
A ছাত্ৰজনৰ ক্ষেত্ৰত-
x + 20y = 1000 ------ (1)
B ছাত্ৰজনৰ ক্ষেত্ৰত-
x + 26y = 1180 ------ (2)
(1) ৰ পৰা,
x = 1000 - 20y ------ (3)
x ৰ মান (2) ত বহুৱালে,
1000 - 20y + 26y = 1180
⇒ 6y = 1180 - 1000
⇒ 6y = 180
⇒ y = 30
y ৰ মান (3) ত বহুৱালে,
x = 1000 - 20×30
⇒ x = 1000 - 600
⇒ x = 400
∴ নিৰ্ণেয় নিৰ্দিষ্ট মাচুল 400 টকা আৰু প্ৰতিদিনৰ মাচুল 30 টকা।
(ii) এটা ভগ্নাংশৰ লবৰ পৰা 1 বিয়োগ কৰিলে ই হয়গৈ $\large \frac{1}{3}$ আৰু ইয়াৰ হৰৰ লগত ৪ যোগ কৰিলে হয়গৈ $\large \frac{1}{4}$ । ভগ্নাংশটো নিৰ্ণয় কৰা ।
Solution:
ধৰাহ'ল,
ভগ্নাংশটোৰ লৱ x আৰু হৰ y
প্ৰশ্নমতে,
$\large \frac{x - 1}{y} = \frac{1}{3}$
⇒ 3(x - 1) = y
⇒ 3x - 3 = y ------ (1)
আৰু,
$\large \frac{x}{y + 8} = \frac{1}{4}$
⇒ 4x = y + 8 ------ (2)
(1) ৰ পৰা y ৰ মান (2) ত বহুৱালে,
4x = 3x - 3 + 8
⇒ 4x - 3x = 5
⇒ x = 5
x ৰ মান (1) ত বহুৱালে,
y = 3×5 - 3
⇒ y = 15 - 3
⇒ y = 12
∴ নিৰ্ণেয় ভগ্নাংশটো $\large \frac{5}{12}$
(iii) এটা পৰীক্ষাত যশোদাই লাভ কৰে 40 নম্বৰ, য'ত তেওঁ প্ৰতিটো শুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে পায় 3 নম্বৰ আৰু প্ৰতিটো অশুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে হেৰুৱায় 1 নম্বব। যদি প্ৰতিটো শুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে 4 নম্বৰ দিলেহেঁতেন আৰু প্ৰতিটো অশুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে 2 নম্বৰ কাটিলেহেঁতেন, তেন্তে যশোদাই 50 নম্বৰ লাভ কৰিলেহেঁতেন। পৰীক্ষাটোত কিমানটা প্রশ্ন আছিল ?
Solution:
ধৰাহ'ল,
শুদ্ধ উত্তৰ কৰা প্ৰশ্ন আছিল x টা আৰু অশুদ্ধ উত্তৰ কৰা প্ৰশ্ন আছিল y টা
প্ৰশ্নমতে,
3x - y = 40 ------ (1)
4x - 2y = 50 ------ (2)
(1) ৰ পৰা,
y = 3x - 40 ------ (3)
y ৰ মান (2) ত বহুৱালে,
4x - 2(3x - 40) = 50
⇒ 4x - 6x + 80 = 50
⇒ -2x = 50 - 80
⇒ -2x = -30
⇒ x = 15
x ৰ মান (3) ত বহুৱালে,
y = 3×15 - 40
⇒ y = 45 - 40
⇒ y = 5
∴ নিৰ্ণেয় পৰীক্ষাটোত থকা মুঠ প্ৰশ্নৰ সংখ্যা = x + y = 15 + 5 = 20
(iv) ঘাইপথ এটাৰ ওপৰৰ দুখন ঠাই A আৰু Bৰ দূৰত্ব 100 কি. মি., এখন গাড়ী Aৰ পৰা আৰু একে সময়তে আন এখন গাড়ী Bৰ পৰা ৰাওনা হয়। যদি গাড়ী দুখনে একে দিশলৈ বেলেগ বেলেগ দ্ৰুতিৰে যাত্ৰা কৰে, তেন্তে ইহঁত 5 ঘণ্টাৰ পিছত লগ হয় । যদি সিহঁতৰ এখনে আনখনৰ দিশলৈ যাত্ৰা কৰে, তেন্তে সিহঁত 1 ঘণ্টা পিছত লগ হয় । গাড়ী দুখনৰ প্ৰত্যেকৰে দ্ৰুতি কিমান?
Solution:
ধৰাহ'ল,
গাড়ী দুখনৰ দ্ৰুতি ক্ৰমে x km/h আৰু y km/h
প্ৰশ্নমতে,
যদি গাড়ী দুখনে একে দিশত গতি কৰে, তেন্তে
5x - 5y = 100
⇒ x - y = 20 ------ (1)
আৰু যদি বিপৰীত দিশত গতি কৰে, তেন্তে
x + y = 100 ------ (2)
এতিয়া, (1) + (2) কৰিলে,
x - y + x + y = 20 + 120
⇒ 2x = 120
⇒ x = 60
x ৰ মান (2) ত বহুৱালে,
60 + y = 100
⇒ y = 100 - 60
⇒ y = 40
∴ নিৰ্ণেয় গাড়ী দুখনৰ দ্ৰুতি ক্ৰমে 60 km/h আৰু 40 km/h
(v) এটা আয়ত যদি দৈর্ঘ্যক 5 একক হ্রাস আৰু প্ৰস্থক 3 একক বৃদ্ধি কৰা হয় তেন্তে ইয়াৰ কালি 9 বর্গ একক হ্রাস হয়। যদি ইয়াৰ দৈৰ্ঘ্যক ও একক আৰু প্ৰস্তুক 2 একক বৃদ্ধি কৰা হয় তেন্তে কালি 67 বর্গ একক বৃদ্ধি পায়। আয়তটোৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা ।
Solution:
ধৰাহ'ল,
আয়তটোৰ দীঘ x একক আৰু প্ৰস্থ y একক
প্ৰশ্নমতে,
(x - 5)(y + 3) = xy - 9
⇒ xy + 3x - 5y - 15 = xy - 9
⇒ 3x - 5y= -9 + 15
⇒ 3x - 5y = 6 ------ (1)
আৰু,
(x + 3)(y + 2) = xy + 67
⇒ xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67
⇒ 2x + 3y = 67 - 6
⇒ 2x + 3y = 61 ------ (2)
এতিয়া, (1) ৰ পৰা,
5y = 3x - 6
⇒ y = $\large \frac{3x - 6}{5}$ ------ (3)
y ৰ মান (2) ত বহুৱালে,
2x + 3.$\large \frac{3x - 6}{5}$ = 61
⇒ 2x + $\large \frac{9x - 18}{5}$ = 61
⇒ 10x + 9x - 18 = 305
⇒ 19x = 305 + 18
⇒ 19x = 323
⇒ x = 17
x ৰ মান (3) ত বহুৱালে,
y = $\large \frac{3×17 - 6}{5}$
⇒ y = $\large \frac{51 - 6}{5}$
⇒ y = $\large \frac{45}{5}$
⇒ y = 9
∴ নিৰ্ণেয় আয়তটোৰ দীঘ 17 একক আৰু প্ৰস্থ 9 একক।